2. Модельдеудегі термодинамика заңдары

2.1 Энергияның сақталуы. Термодинамиканың бірінші заңы. Энергия теңдеуі

2.2 Күй теңдеуі. Энтропия. Термодинамиканың екінші заңы

2.3 Клаузиус-Дюгема теңсіздігі. Диссипативті функция. Анықтауыш теңдеулер. Термомеханикалық және механикалық континуумдар

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

2.3 Клаузиус-Дюгема теңсіздігі. Диссипативті функция. Анықтауыш теңдеулер. Термомеханикалық және механикалық континуумдар

Термодинамиканың екінші заңы бойынша V көлемін алып жатқан, тұтас ортаның толық энтропиясы S-тің өзгеру жылдамдығы, сыртқы көздер әсерінен көлем ішінде жүретін энтропия және көлем шекарасындағы энтропия келуінің қосындысынан кем болуы ешқашанда мүмкін емес. Энтропияның өзгеруінің бұл заңы математикалық түрде Клаузиус-Дюгема теңсіздігі формасында беріледі:

,                          (3.37)

мұндағы e – бірлік массаға келетін, энтропияның локальды сыртқы көздер қуаты. (3.37) формуласындағы теңдік қайтымды процесстер үшін, ал теңсіздік қайтымсыз процесстер үшін орындалады.

(3.37) теңсіздігі кез-келген көлем үшін жазылған. Интегралдық формадан дифференциалдық формаға өту кезіндегі бірлік массаға келетін  энтропиясының ішкі өндірісіндегі жылдамдық үшін келесі қатынасқа келеміз:

.                       (3.38)

Кернеу тензорын екі бөлікке жіктеуге болатындай болсын деп жорамалдайық:

,                                  (3.39)

мұндағы  – консервативті кернеу тензоры, ал  – диссипативті кернеу тензоры. Бұл жағдайда (3.32) кернеу тензорын (2.25) – ті ескеріп келесі түрде жазуға болады:

,                     (3.40)

мұндағы  – кернеулі бірлік массаның энергия диссипациясының жылдамдығы, ал  – бірлік массаның ортадағы жылу ағынының жылдамдығы.

Егер ортадағы процесс қайтымды болса, онда энергия диссипациясы болмайды. Сонымен қоса . Сондықтан (3.40) және (3.36) теңдіктерін қоссақ, онда

.                                    (3.41)

(3.40) теңдеуімен сипатталатын қайтымсыз процесстер үшін энтропия өндірісінің жылдамдығын (3.41) теңдеуінен табуға болады. Сонымен

.                       (3.42)

мұндағы  шамасы диссипативті функция болады. Диссипативті функция әрқашан оң анықталған.

Біздің талқылауларымызды қорытындылай келе, тұтас ортада мүмкін болатын барлық процесстер мен қозғалысты қанағаттандыратын теңдеуді жазайық.

Термомеханикалық орта үшін:

а) (3.4) үзіліссіздік теңдеуі

       немесе      .      (3.43)

б) (3.16) қозғалыс теңдеуі

       немесе      .            (3.44)

в) (3.32) энергия теңдеуі

   немесе   .    (3.45)

Егер  және z берілсе, онда (3.43) – (3.45)  теңдеулері, уақыт және координатаның 14 белгісізі бар бес тәуелсіз жүйе құрайды. Белгісіздер: .

Бұған қосымша (3.38) Клаузиус-Дюгема теңсіздігі орындалу керек:

.                           (3.46)

Бұл тағы да екі белгісіз қосады. Олар: энтропия тығыздығы S және абсолютті температура T.

Демек, жүйені тұйықтау үшін әлі де 11 теңдеуді іздеу керек: олардың алтауы қарастырылатын ортаның физикалық қасиетін сипаттайтын анықтауыш теңдеулер; үшеуі жылу өткізгіштік заңын беру қатынастары; екеуі күйдің термодинамикалық теңдеуі (күйдің калорикалық теңдеуі және энтропия теңдеуі).

Механикалық және термодинамикалық әсерлері бар материалдың қасиетін сипаттайтын, статикалық, кинематикалық және термодинамикалық параметрлер арасындағы математикалық қатынасты орнату үшін анықтауыш теңдеулер қажет екенің ескерту керек. нақты орталардың әртүрлі күштерге әсері өте күрделі болғандықтан, анықтауыш теңдеулер бір материалға байланысты барлық әсерлерді сипаттамайды, тек ғана бірқатар идеалданған ортаны еңгізеді. Мысалы идеалды серпімді дене немесе идеалды сұйық. Ортаның моделі деп аталатын мұндай идеализациялау, анықталған жүктеме және температруа интервалында нақты ортаның басқа күштерге әсерін толық сипаттайды.

Көп жағдайларда механикалық және термодинамикалық процесстердің өзара әсерін ескермеуге болады; мұндай түрдегі зерттеулерге байланыспаған термосерпімділік теориясын жатқызуға болады. Бұл жағдайда таза механикалық процесстер (3.43) және (3.44) теңдеулермен сипатталады. (3.43) және (3.44) теңдеулерінен құрылған теңдеулер жүйесі 10 белгісі бар 4 теңдеуден тұрады. Жүйені тұйықтау үшін әлі 6 анықтауыш теңдеу керек. механикалық және жылулық процесстердің өзара әсері ескерілмейтін байланыспаған теориядағы анықтауыш теңдеулерде тек ғана динамикалық (кернеу) және кинематикалық (жылдамдық, орын ауыстыру, деформация) параметрлер болады және ол кернеу мен деформация арасындағы байланысты өрнектейді. Сонымен қоса, мұндай теорияларды температура өрісі белгілі деп есептелінеді немесе жылу өткізгіштік есебі механикалық есептен тәуелсіз және жеке шешіледі. Изотермиялық процесстер кезінде температура тұрақты деп жорамалданады да, есеп таза механикалық болып қалады.